《动手学深度学习 Pytorch版》 6.2 图像卷积

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

6.2.1 互相关计算

X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])

此处应为：

0	1	2
3	4	5
6	7	8

0	1
2	3

19	25
37	43

即

$0\times0+1\times1+3\times2+4\times3=19\\ 1\times0+2\times1+4\times2+5\times3=25\\ 3\times0+4\times1+6\times2+7\times3=37\\ 4\times0+5\times1+7\times2+8\times3=43$

输出大小应为原宽度/高度减去卷积核宽度/高度再加上1，即： $(n_h-k_h+1)\times(n_w-k_w+1)$

def corr2d(X, K):  #@save
    """计算二维互相关运算"""
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))  # 输出矩阵
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()  # 对位相乘再求和 
    return Y

corr2d(X, K)

tensor([[19., 25.],
        [37., 43.]])

6.2.2 卷积层

卷积层被训练的参数是卷积核和标量偏置。如之前一样，卷积核权重也采用随机初始化。

class Conv2D(nn.Module):
    def __init__(self, kernel_size):
        super().__init__()
        # 声明模型参数
        self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))  # 随机初始化卷积核
        self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))

    def forward(self, x):  # 前向传播
        return corr2d(x, self.weight) + self.bias

6.2.3 图像中目标的边缘检测

简单应用卷积：通过找到像素变化位置来检测图像中不同颜色的边缘。

如下，构造一个简单的黑白图像，0为黑色像素，1为白色像素。再构造一个 $1\times2$ 的卷积核 K，进行互相关计算时，如果水平相邻两元素相同则输出为零，否则输出为非零。

X = torch.ones((6, 8))
X[:, 2:6] = 0  # 中间四列为白色，其余为黑色
X

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

K = torch.tensor([[1., -1.]])  # 卷积核

Y = corr2d(X, K)  # 进行互相关运算了，则1为从白色到黑色的边缘 -1为从黑色到白色的边界
Y

tensor([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.]])

corr2d(X.T, K)  # 若进行转置则无结果，此卷积核如设计的一样，仅适用于垂直边缘的检测。

tensor([[0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0.]])

6.2.4 学习卷积核

以后不可能永远手动设计卷积核，卷积核权重应该是可学习的。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(1, 2), bias=False)  # 构造一个具有1个输出通道和形状为（1，2）的卷积核的二维卷积层

# 此二维卷积层输入和输出均为四维：批量大小、通道、高度、宽度（其中批量大小和通道数都为1）
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2  # 学习率

for i in range(10):
    Y_hat = conv2d(X)
    l = (Y_hat - Y) ** 2  # 计算平方误差
    conv2d.zero_grad()
    l.sum().backward()
    conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.grad  # 迭代卷积核
    if (i + 1) % 2 == 0:
        print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')

epoch 2, loss 19.846
epoch 4, loss 6.740
epoch 6, loss 2.527
epoch 8, loss 0.996
epoch 10, loss 0.401

conv2d.weight.data.reshape((1,2))  # 迭代十次后已经很接近我们自定义的卷积核了

tensor([[ 1.0526, -0.9225]])

练习

（1）构建一个具有对角线边缘的图像 X

a. 如果将本节中举例的卷积核K应用于X，会发生什么？
b. 如果转置 X 会发生什么？
c. 如果转置 K 会发生什么？

X = torch.ones((8, 8))
X[0, :2] = 0
for i in range(1, X.shape[0]-1): # 设置对角线边缘
    X[i, i] = 0
    X[i, i-1] = 0
    X[i, i+1] = 0
X[X.shape[0]-1, -2:] = 0

K = torch.tensor([[1., -1.]])

X

tensor([[0., 0., 1., 1., 1., 1., 1., 1.],
        [0., 0., 0., 1., 1., 1., 1., 1.],
        [1., 0., 0., 0., 1., 1., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 1., 1., 1.],
        [1., 1., 1., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 1., 1., 0., 0., 0., 1.],
        [1., 1., 1., 1., 1., 0., 0., 0.],
        [1., 1., 1., 1., 1., 1., 0., 0.]])

corr2d(X, K)  # 仍可检测到水平边缘

tensor([[ 0., -1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0., -1.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 1.,  0.,  0., -1.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0., -1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  1.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0., -1.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.]])

corr2d(X.T, K)  # X转置后结果不变

tensor([[ 0., -1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0., -1.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 1.,  0.,  0., -1.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0., -1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  1.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0., -1.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.]])

corr2d(X, K.T)  # K转置后检测的是水平边界

tensor([[ 0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [-1.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0., -1.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0., -1.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0., -1.,  0.,  0.,  1.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.,  0.,  1.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.,  0.]])

（2）在我们创建的 Conv2D 自动求导时，会收到什么错误消息？

？上面没报错哇

（3）如何通过改变输入张量和卷积核张量，将互相关运算表示为矩阵乘法？

没明白，上面实现的就是用矩阵乘法。

（4）手动设计一些卷积核。

a. 二阶导数的核的形式是什么？

b. 积分的核的形式是什么？

c. 得到 d 次导数的最小核的大小时多少？

没看明白