CSP-J 2023 入门级第一轮阅读程序（3）

【题目】

#include <iostream> 
#include <cmath>
using namespace std;
int solve1(int n) {
    return n * n;
}
int solve2(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) {
            if (n / i == i) {
                sum += i * i;
            } else {
                sum += i * i + (n / i) * (n / i);
            }
        }
    }
    return sum;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << solve2(solve1(n)) << " " << solve1((solve2(n))) << endl;
    return 0;
}

假设输入的n是绝对值不超过1000的整数，完成下面的判断题和单选题。
判断题
27. 如果输入的n为正整数，solve2函数的作用是计算n所有的因子的平方和（）
28. 第13~14行的作用是避免n的平方根因子i（或n/i）进入第16行而被计算两次（）
29. 如果输入的n为质数，solve2(n)的返回值为 $n^2+1$ （）

单选题
30. 如果输入的n为质数p的平方，那么solve2(n)的返回值为（）
A. $p^2+p+1$ B. $n^2+n+1$ C. $n^2+1$ D. $p^4+2p^2+1$
31. 当输入为正整数时，第一项减去第二项的差值一定（）
A. 大于0 B. 大于等于0且不一定大于0 C. 小于0 D. 小于等于0且不一定小于0
32. 当输入为"5"时，输出为（）
A. “651.625” B. “650.729” C. “651.676” D. “652.625”

【题目考点】

数学

因数
质数

【解题思路】

int solve1(int n) {
    return n * n;
}

solve1(n)，求 $n^2$

int solve2(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) {
            if (n / i == i) {
                sum += i * i;
            } else {
                sum += i * i + (n / i) * (n / i);
            }
        }
    }
    return sum;
}

i从1循环到 $\sqrt{n}$ ，如果i是n的因数：

如果n/i为i，即i为 $\sqrt{n}$ ，此时i是n的因数，把 $i^2$ 加到sum中。
如果n/i不为i，此时i与n/i是n的因数，把 $i^2$ 和 $n/i)^2$ 加到sum中。

i从1循环到 $\sqrt{n}$ ，取循环中取到的i或n/i可以遍历n的所有因数。
因此solve2(n)求的是n的所有因数的平方和。

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << solve2(solve1(n)) << " " << solve1((solve2(n))) << endl;
    return 0;
}

主函数中，第一个输出的solve2(solve1(n))是 $n^2$ 的所有因数的平方和。第二个输出的solve1((solve2(n)))是n的所有因数的平方和的平方。

判断题
27. 如果输入的n为正整数，solve2函数的作用是计算n所有的因子的平方和（）

答：T
上面已解释

第13~14行的作用是避免n的平方根因子i（或n/i）进入第16行而被计算两次（）

答：T
n的平方根因子，就是 $\sqrt{n}$ （ $\sqrt{n}$ 是整数），在计算因数的平方和时， $(\sqrt{n})^2$ 只需要计算一次，需要进入第14行，而不能进入第16行被计算两次。

如果输入的n为质数，solve2(n)的返回值为 $n^2+1$ （）

答：T
质数n只有1和n两个因数，因数的平方和为 $n^2+1$ 。

单选题
30. 如果输入的n为质数p的平方，那么solve2(n)的返回值为（）
A. $p^2+p+1$ B. $n^2+n+1$ C. $n^2+1$ D. $p^4+2p^2+1$

答：B
$n=p^2$ ，n的所有因数为： $1, p, p^2$ ，因数的平方和为： $1+p^2+p^4$ 或写为 $1+n+n^2$

当输入为正整数时，第一项减去第二项的差值一定（）
A. 大于0 B. 大于等于0且不一定大于0 C. 小于0 D. 小于等于0且不一定小于0

答：D
如果输入的是n，第一项是 $n^2$ 所有因数的平方和。第二项是n的所有因数的平方和的平方。
可以用特例法：
如果n是1，第一项是1，第二项是1，差是0。
如果n是2，第一项是4的所有因数1,2,4的平方和，是21。第二项是2的所有因数1，2的平方和5的平方为25。第一项减第二项小于0。
只有D符合条件。

当输入为"5"时，输出为（）
A. “651 625” B. “650 729” C. “651 676” D. “652 625”

答：C
第一项是 $5^2=25$ 所有因数1,5,25的平方和： $1^2+5^2+25^2=651$
第二项是5的所有因数1，5的平方和26的平方： $26^2=676$