邓俊辉《数据结构》→ “2.6.5 二分查找（版本A）”之“成功查找长度”递推式推导

【问题描述】
邓俊辉的《数据结构（C++语言版）（第3版）》（ISBN：9787302330646）中，开始于第48页的“2.6.5 二分查找（版本A）”内容在第50页详述了“成功查找长度”的递推式，但此递推式乍一看令人费解。故为了说明问题，进行一些约定并详述如下：
● 既然是二分查找，所以给定的序列必定是有序的。
● 不失一般性，约定有序序列的长度 $\color{red} n=2^k-1$ ，这样便可构建一个高度为 k 的满的二分查找树。
● 设 C(k) 表示高度为 k 的满的二分查找树中所有元素的查找长度总和。此时，问题就可以用递归方法求解。即 k 层的满二叉树，可以转化为左右两个 k-1 层的满二叉树。依据邓俊辉《数据结构（C++语言版）（第3版）》（ISBN：9787302330646）中“2.6.5 二分查找（版本A）”的算法陈述，可知：
（1）第 k 层的查找长度为2（也即 $\color{red} C(1)=2$ ）；
（2）且稍加观察会发现左面的 k-1 层的子树所有元素的查找长度都会相对于以第 k-1 层为顶层时的查找长度多1（左子树共多 $\color{red} 2^{k-1}-1$ ）。
（3）同样右面的 k-1 层的子树所有元素的查找长度都会相对于以第 k-1 层为顶层时的查找长度多2（右子树共多 $\color{red} 2\times (2^{k-1}-1)$ ）。
所以，根据递归算法的设计思想，需要把这些长度补上，共同构成 C(k)。

综上，可得 C(k) 的递推公式如下：
$C(k)=[C(k-1)+(2^{k-1}-1)]+2+[C(k-1)+2\cdot (2^{k-1}-1)]$
化简得： $\color{red} C(k)=2\cdot C(k-1)+3\cdot 2^{k-1}-1$

若令， $\color{red} F(k)=C(k)-3k\cdot 2^{k-1}-1$
则有：
$F(1)=C(1)-3\cdot 1\cdot 2^{1-1}-1=2-3-1=-2 \\ F(k)=C(k)-3k\cdot 2^{k-1}-1=2\cdot C(k-1)+3\cdot 2^{k-1}-1-3k\cdot 2^{k-1}-1 \\ =2\cdot C(k-1)-2\cdot(3k\cdot2^{k-2}-3\cdot 2^{k-2})-2 \\ =2\cdot C(k-1)-2\cdot 3 \cdot (k-1) \cdot 2^{k-2}-2 \\ =2[C(k-1)-3 \cdot (k-1) \cdot 2^{k-2}-1] \\ =2\cdot F(k-1)$

故利用上文得出的 $\color{red} F(k)=2\cdot F(k-1)$ ，可进一步得出：
$F(k)=2\cdot F(k-1)=2^2\cdot F(k-2)=2^3\cdot F(k-3)=\cdots \\ =2^{k-1}\cdot F(1)=-2^k$

于是将 $F(k)=-2^k$ 代入 $F(k)=C(k)-3k\cdot 2^{k-1}-1$ 可得：
$C(k)=F(k)+3k\cdot 2^{k-1}+1 \\ =-2^k+3k\cdot 2^{k-1}+1 \\ =(3k/2-1)\cdot (2^k-1)+3k/2$

从而可得平均查找长度为： $C(k)/(2^k-1)=3k/2-1+3k/2/(2^k-1)=3k/2-1+O(\varepsilon )$
忽略掉低阶项、常数项、系数项，可得本版本的二分查找的平均查找长度的时间复杂度为： $\color{red} O(1.5k)$