大家好，我是晴天学长，同余定理的应用，需要的小伙伴可以关注支持一下哦！后续会继续更新的。
1) .和可被 K 整除的子数组
题目描述
给定一个整数数组 A，返回其中元素之和可被 K 整除的（连续、非空）子数组的数目。
示例：
输入：A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5 输出：7
解释：
有 7 个子数组满足其元素之和可被 K = 5 整除： [4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]
示例 2:
输入: nums = [5], k = 9
输出: 0
2) .算法思路
前缀和+HashMap
解析:
我们需要求出满足条件的区间，见下图
我们需要找到满足，和为 K 的区间。我们此时 presum 是已知的，k 也是已知的，我们只需要找到 presum - k区间的个数，就能得到 k 的区间个数。但是我们在当前题目中应该怎么做呢？见下图。
我们在之前的例子中说到，presum[j+1] - presum[i] 可以得到 nums[i] + nums[i+1]+… nums[j]，也就是[i,j]区间的和。
那么我们想要判断区间 [i,j] 的和是否能整除 K，也就是上图中紫色那一段是否能整除 K，那么我们只需判断
(presum[j+1] - presum[i] ) % k 是否等于 0 即可，
我们假设 (presum[j+1] - presum[i] ) % k == 0；则
presum[j+1] % k - presum[i] % k == 0;
presum[j +1] % k = presum[i] % k ;
我们 presum[j +1] % k 的值 key 是已知的，则是当前的 presum 和 k 的关系，我们只需要知道之前的前缀区间里含有相同余数 （key）的个数。则能够知道当前能够整除 K 的区间个数。见下图
我们看到上面代码中有一段代码是这样的
int key = (presum % K + K) % K;
这是为什么呢？不能直接用 presum % k 吗？
这是因为当我们 presum 为负数时，需要对其纠正。纠正前(-1) %2 = (-1)，纠正之后 ( (-1) % 2 + 2) % 2=1 保存在哈希表中的则为 1.则不会漏掉部分情况，例如输入为 [-1,2,9],K = 2如果不对其纠正则会漏掉区间 [2] 此时 2 % 2 = 0，符合条件，但是不会被计数。
那么这个题目我们可不可以用数组，代替 map 呢？当然也是可以的，因为此时我们的哈希表存的是余数，余数最大也只不过是 K-1所以我们可以用固定长度 K 的数组来模拟哈希表。
3) .算法步骤
1.创建一个HashMap对象 map 用于存储余数与对应出现次数的映射关系。
2.初始化变量 PerSum 为0，表示当前位置的前缀和。
3.初始化变量 answer 为0，表示满足条件的子数组个数。
4.将余数为0的初始情况放入 map 中，即前缀和为0的情况，出现次数为1。
5.使用一个循环遍历数组中的元素。
6.将当前元素的值累加到 PerSum 中，即计算当前位置的前缀和。
7.使用同余定理，计算当前前缀和除以k的余数，由于负数取模的结果可能为负数，为8.确保结果为非负整数，需要进行加k再取模的操作。
9.检查 map 中是否包含当前余数，如果是，则将对应的出现次数加到 answer 中。
10.将当前余数和对应的出现次数放入 map 中，更新映射关系。
11.循环结束后，返回 answer，表示满足条件的子数组个数。
4）.代码示例
class Solution {
public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<Integer, Integer>();
long PerSum = 0;
int answer = 0;
map.put(0, 1);
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
PerSum += nums[i];
// 同余定理，因为不符合分配律
int mod = (int) ((PerSum%k+k)%k);
if (map.containsKey(mod)) {
answer+=map.get(mod);
}
map.put(mod, map.getOrDefault(mod, 0) + 1);
}
return answer;
}
}
5）.总结
- 同余定理的运用。
