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Leetcode.2826 将三个组排序 rating : 1721

题目描述

给你一个下标从 $0$ 开始长度为 $n$ 的整数数组 $nums$ 。

从 $0$ 到 $n-1$ 的数字被分为编号从 $1$ 到 $3$ 的三个组，数字 $i$ 属于组 $nums[i]$ 。注意，有的组可能是 空的 。

你可以执行以下操作任意次：

• 选择数字 $x$ 并改变它的组。更正式的，你可以将 $nums[x]$ 改为数字 $1$ 到 $3$ 中的任意一个。

你将按照以下过程构建一个新的数组 $res$ ：

1. 将每个组中的数字分别排序。
2. 将组 $1$ ，$2$ 和 $3$ 中的元素 依次 连接以得到 $res$ 。

如果得到的 $res$ 是 非递减顺序的，那么我们称数组 $nums$ 是 美丽数组 。

请你返回将 $nums$ 变为 美丽数组 需要的最少步数。

示例 1：

输入：nums = [2,1,3,2,1]
输出：3
解释：以下三步操作是最优方案：

1. 将 nums[0] 变为 1 。
2. 将 nums[2] 变为 1 。
3. 将 nums[3] 变为 1 。
   执行以上操作后，将每组中的数字排序，组 1 为 [0,1,2,3,4] ，组 2 和组 3 都为空。所以 res 等于 [0,1,2,3,4] ，它是非递减顺序的。 三步操作是最少需要的步数。

示例 2：

输入：nums = [1,3,2,1,3,3]
输出：2
解释：以下两步操作是最优方案：

1. 将 nums[1] 变为 1 。
2. 将 nums[2] 变为 1 。
   执行以上操作后，将每组中的数字排序，组 1 为 [0,1,2,3] ，组 2 为空，组 3 为 [4,5] 。所以 res 等于 [0,1,2,3,4,5] ，它是非递减顺序的。 两步操作是最少需要的步数。

示例 3：

输入：nums = [2,2,2,2,3,3]
输出：0
解释：不需要执行任何操作。
组 1 为空，组 2 为 [0,1,2,3] ，组 3 为 [4,5] 。所以 res 等于 [0,1,2,3,4,5] ，它是非递减顺序的。

提示：

• $1\le nums.length\le 100$
• $1\le nums[i]\le 3$

解法一：动态规划

我们定义 $f(i,j)$ 为前 $i$ 个元素，并且将第 $i$ 个元素改成 $j$，变为美丽数组需要的最少步数。

$$f(i,j)=\underset{1\le k\le j}{\min }f(i-1,k)+(j\ne nums[i])$$

初始 $f(0,j)=0$。

时间复杂度： $O(n)$

空间复杂度：$O(n)$

C++代码：

class Solution {
public:
    int minimumOperations(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> f(n + 1,vector<int>(4));

        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 1;j <= 3;j++){
                f[i][j] = *min_element(f[i - 1].begin() + 1 , f[i - 1].begin() + j + 1) + (j != nums[i - 1]);
            }
        }
        int ans = *min_element(f[n].begin() + 1 , f[n].begin() + 4);
        return ans;
    }
};

解法二：动态规划 + 优化空间

我们可以优化掉第一维的空间，为了防止直接用第 $i$ 层的状态更新第 $i$ 层，我们需要倒序枚举 $j$。

时间复杂度： $O(n)$

空间复杂度：$O(1)$

C++代码：

class Solution {
public:
    int minimumOperations(vector<int>& nums) {
        int f[4] = {0};

        for(auto x:nums){
            for(int j = 3;j;j--){
                f[j] = *min_element(f + 1 , f + j + 1) + (j != x);
            }
        }
        int ans = *min_element(f + 1 , f + 4);
        return ans;
    }
};

解法三：二分 + 贪心

我们分析可得，$nums$ 中不需要修改的一定是一个 最长的非递减子序列。那么我们只需要求出这样序列的长度 $len$，那么我们需要修改的最少步数就是 $n-len$。

我们发现这就是一个 最长上升子序列模型。

不过本题不是 上升子序列，而是 非递减子序列。

时间复杂度： $O(n\times logn)$

C++代码：

class Solution {
public:
    int minimumOperations(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> g;
        for(auto x:nums){
            if(g.size() == 0 || x >= g.back()) g.push_back(x);
            else{
                auto it = upper_bound(g.begin(),g.end(),x);
                *it = x;
            }
        }
        return n - g.size();
    }
};