自然语言处理（一）：基于统计的方法表示单词

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1. 共现矩阵

将一句话的上下文大小窗口设置为1，用向量来表示单词频数，如：
在这里插入图片描述

将每个单词的频数向量求出，得到如下表格，即共现矩阵：

我们可以用余弦相似度（cosine similarity）来计算单词向量的相似性：
$\operatorname{similarity}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\frac{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|}=\frac{x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}}{\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \sqrt{y_{1}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}}}$

有时会出现分母为0的情况，在具体代码实现的时候，我们可以加上一个微小值，如1e-8

def cos_similarity(x, y, eps=1e-8):
	nx = x / (np.sqrt(np.sum(x ** 2)) + eps)
	ny = y / (np.sqrt(np.sum(y ** 2)) + eps)
 	return np.dot(nx, ny)

2. 点互信息

在语料库中可能会看到很多“…the car…”这样的短语。实际上，与 the相比，drive和 car 的相关性更强。为了避免这种情况，可以引入PMI

$\operatorname{PMI}(x, y)=\log _{2} \frac{P(x, y)}{P(x) P(y)}=\log _{2} \frac{\frac{\boldsymbol{C}(x, y)}{N}}{\frac{\boldsymbol{C}(x)}{N} \frac{\boldsymbol{C}(y)}{N}}=\log _{2} \frac{\boldsymbol{C}(x, y) \cdot N}{\boldsymbol{C}(x) \boldsymbol{C}(y)}$

P(x) 表示 x 发生的概率，P(y) 表示 y 发生的概率，P(x, y) 表示 x
和 y 同时发生的概率。PMI 的值越高，表明相关性越强。

这里假设语料库的单词数量（N）为 10 000，the 出现 100 次，car 出现 20 次，drive 出现 10 次，the 和 car 共现 10 次，car 和 drive 共现 5 次。

$PMI("the","car")=log_2\frac{10\cdot 10000}{1000 \cdot 20}\approx 2.32$
$PMI("car","drive")=log_2\frac{5\cdot 10000}{20 \cdot 10}\approx 7.79$

得出的PMI值，后者比前者要高，这是我们所需要的结果

3. 降维（奇异值分解）

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）。SVD 将任意矩阵分解为 3 个矩阵的乘积，如下式所示：

$X=USV^T$

上面的例子只考虑了一句话中少量单词的共现矩阵，如果我们使用一个真正的语料库，那么这个矩阵将变得十分庞大，这是一个很大的稀疏矩阵，我们需要对其进行降维，这里用到奇异值分解。
在numpy中可以用

U, S, V = np.linalg.svg()

在这里插入图片描述

我们只需要取矩阵U的前两个元素即可将其降维到二维向量。